Cuantos habrán visto, jugado y/o resuelto un cubo de Rubik, cuantos han jugado al ajedrez o al 3 en rata, ta te ti, gato o como se llame en tu país. Estos juegos tienen algo en común, y esto es que existe una cantidad de combinaciones máxima en ellos, hay una cantidad finita de partidas del 3 en raya, como también de partidas de ajedrez o movimientos posibles dentro de un cubo de Rubik, y ya veras lo grande que pueden llegar a ser.
3 en raya / Ta te ti / gato
Bueno este clásico juego como ya sabrán consta de colocar cruz o circulo hasta que alguien haga una linea ya sea diagonal, horizontal o vertical, pero cuantas posibles jugadas hay? Básicamente considerando que muchos de los movimientos son idénticos solo con cambiar el punto de vista del tablero los movimientos son menos de los que aparentan, pero para esta ocasión ignoraremos esto, ya que lo que queremos mostrar son números enormes. Si tomamos como que cada movimiento no se repite y que el juego termina en empate llenando todo el tablero, entonces tendríamos que inicialmente el primer jugador tendría 9 opciones de jugada, una en cada espacio en blanco, al realizar la jugada su contrincante tendría 8 jugadas ya que uno de los espacios fue marcado, al siguiente turno serian 7… y así se irían reduciendo las posibilidades hasta llegar a 0 espacios disponibles. Esto calculado mediante combinatoria nos da 9! (9 factorial), numero que representa la multiplicación de 9 por todos los enteros anteriores (9x8x7x… hasta llegar al 1). Escrito cifra por cifra esto seria: 362880 jugadas posibles.
Este número no es tan sorprendente, pero no deja de ser un número grande, ahora veremos como los otros 2 números no tienen ni comparación con este de lo grandes que son… este fue solo un calentamiento.
Cubo de Rubik
Aquí es donde las cosas se pondrán realmente interesantes, y es que este grandioso cubo cuenta con mas combinaciones de las que te estarás imaginando, veamos cuantas son y por que. El cubo cuenta con 8 aristas, esto nos lleva a 8! posibles movimientos, que si bien es menos que lo anterior visto (40320) ya verán como este numero crecerá conforme agreguemos las demás reglas y cualidades del cubo.
Estas aristas mencionadas con anterioridad también pueden tener 3 orientaciones diferentes, lo cual multiplica 3 veces la cantidad de movimientos, pero 3 veces por cada una de las aristas, por tanto esto es \( 8!\text{ x }3^8 \) numero que resulta ser mas de 200 millones.
Repitiendo el proceso anterior con las aristas obtendremos que son 12 aristas con 2 posibles orientaciones que dan \( 12!\text{ x }2 \) movimientos, estos 2 resultados anteriores deben multiplicarse… Ese numero seria increíblemente alto, si no fuera por una pequeña condición, y es que el cubo tiene sus movimientos simétricos a otros, como en el juego anterior, que en este caso si los contaremos, lo cual nos dividiría entre 12 los movimientos anteriores calculados, nos terminaría quedando la siguiente cuenta:
\[ \frac{8!\text{ x }3^8\text{ x }12!\text{ x }2}{12} \]
Resultando en mas de 43 trillones!! que con todas sus cifras seria 43.252.003.274.489.856.000 de posibles movimientos.
Esto resulta ser tanto que si se apilara un cubo arriba de otro formando una torre por cada posible movimiento del cubo, esta torre llegaría a la constelación Columba que se encuentra a una distancia de 261 años luz!!.
Sudoku
Este juego, tiene mas cifras que el anterior, y es que esto se debe a que consta de menos restricciones y más cuadrados que un cubo de rubik. Sus combinaciones fueron resueltas por maquina debido a los problemas de las restricciones de este juego, el resultado final resultó ser mayor a 6 mil trillones superando por lejos los 43 trillones del cubo rubik. El numero colosal de combinaciones de sudoku cifra por cifra vendría siendo el siguiente 6.670.903.752.021.072.936.960.
Ajedrez
Lo mejor siempre para lo último y es que si los números anteriores te impresionaron, este lo hará muchísimo más, y es que los ya vistos son ridículamente pequeños en comparación… no me crees? Pues empecemos a hacer las cuentas.
Primero que nada veamos una pequeña demostración de lo impresionante que puede llegar a ser:
Se cuenta que el inventor de este juego se lo regalo al rey para que pudiera divertirse jugandolo, al rey el juego le fascino y a cambio le dijo a su creador que a cambio le daría lo que el desee, este no quería nada a cambio pero ante la insistencia del rey a que pidiera algo este le pidió que por la primer casilla del tablero le diera una semilla de trigo, el doble por la segunda, el cuatropea por la tercera y así hasta la ultima. El rey accedio, pensando que era poco y el siendo tan rico podría dárselo, pues fue un grave error, luego de los cálculos el rey debía más de 18 trillones de semillas de trigo, más trigo del que habia en el mundo, el inventor no reclamo su ceuda sino que la uso para enseñar una lección al rey.
El número de la historia contada es bastante menor al visto arriba en el sudoku si, pero estamos hablando solo de un resultado dado por las 64 casillas y no de sus combinaciones con cada una de las piezas ni sus movimientos ni las reglas de juego, así que podemos ver que de aquí pueden salir números más que enormes.
Ya las primeras 10 jugadas posibles son 165 cuatrillones y medio, número que ya supera por mucho a los anteriores, y recuerden, seguimos en las primeras 10 jugadas.
El primero en calcular esta cantidad inmensa de posibilidades fue Claude Shannon el cual dio con el número de Shannon como respuesta al problema, el cual tiene este nombre como único nombre, ya que es tan grande que se sale de la escala de millones, trillones y demas terminos que solemos usar. Representado como \( 10^{120} \) lo cual implica un 1 seguido de 120 ceros. Si así de colosal es, es más el universo observable consta de \( 10^{81} \) átomos aproximadamente, si hay mas jugadas de ajedrez que átomos en el universo hasta ahora conocido. Y eso que una persona promedio de 70 kg posee aproximadamente \( 6,7^{27} \) átomos en su cuerpo.
Es impresionante porque ya los números con los que tratamos no poseen ni nombre ni son concebibles para la imaginación humana… pero esto no a acabado aquí. Impresionante no?
El número de Shannon hay cosas que no tiene en cuenta por lo que si hacemos unos mejores cálculos y añadimos algunas otras de las posibles acciones y movimientos que una pieza puede tener llegamos a la cifra de
\[ 10^{100.000} \]
que si, es un 1 seguido de 100.000 ceros esto ya supera por muchas veces la cantidad de átomos del universo observable y si antes no podíamos ni imaginar la magnitud de los números a tratar ahora mucho menos, pero oh sorpresa… esta no es la mejor versión del calculo de las combinaciones, hay una mucho mayor.
El actual mejor resultado de la cantidad de posibles jugadas de ajedrez actualmente (si aun puede aumentar debido a reglas, terminación prematura de la partida, peones que llegan al otro extremo etc) es el resultado hallado por Godfrey Harold Hardy, el cual llego a la impresionante cifra de \( 10^{(10^{50})} \) lo cual representa un 1 seguido de \( 10^{50} \) ceros, numero el cual es un 1 seguido de 50 ceros. Numero que ya es ridículamente grande que ni podemos entender lo grande que es.
Quieres saber como nombrar números así de grandes? Este articulo puede interesarte:
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Y a ti qué te han parecido estos números tan descomunales? Qué juego te gusta mas de estos 4?
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